第七周作业

本次作业题包括第三章习题18、20、21、28、30、32。

习题3

18

因$\{f_k\}$在$E$依测度收敛于$f$，由Riesz定理存在子列$\{f_{k_n}\}$在$E$几乎处处收敛于$f$，即存在$E_1\subseteq E$使$m(E\setminus E_1)=0$且$\{f_{k_n}\}$在$E_1$处处收敛于$f$。又由题目条件存在$E_2\subseteq E$使$m(E\setminus E_2)=0$且$\{f_k\}$在$E_2$单调递增。因此对任何$x\in E_1\cap E_2$，由$\{f_k(x)\}$单调知$\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)$存在，从而$\displaystyle\lim_{k\to\infty}f_k(x)=\lim_{n\to\infty}f_{k_n}(x)=f(x)$。注意到$m(E\setminus (E_1\cap E_2))\leq m(E\setminus E_1)+m(E\setminus E_2)=0$，$\{f_k\}$在$E$几乎处处收敛于$f$。

20

若$\{f_k\}$在$E$依测度收敛于$f$，则对$\{f_k\}$中任何子列$\{f_{k_i}\}$，$\{f_{k_i}\}$也在$E$依测度收敛于$f$，因此由Riesz定理存在$\{f_{k_i}\}$的子列$\{f_{k_{i_j}}\}$在$E$几乎处处收敛于$f$。

反之若$\{f_k\}$在$E$不依测度收敛于$f$，则存在$\epsilon>0$使得$\delta=\displaystyle\varlimsup_{k\to\infty}mE(\vert f_k - f\vert\geq\epsilon)>0$，从而由上极限定义存在$\{f_k\}$的子列$\{f_{k_i}\}$使$\displaystyle\lim_{i\to\infty}mE(\vert f_{k_i} - f\vert\geq\epsilon)=\delta>0$，所以$\{f_{k_i}\}$的所有子列都不在$E$依测度收敛于$f$，但$mE<+\infty$，由Egorov定理知$\{f_{k_i}\}$的所有子列都不在$E$几乎处处收敛于$f$。

21

对所有$k\in\mathbb{Z}^+$由题设存在闭集$F_k$使得$m(E\setminus F_k)<\frac{1}{k}$且$f$在$F_k$连续，从而$f$在$F_k$可测，进而$f$在$F=\displaystyle\bigcup^\infty_{k=1}F_k$可测，又注意到$m(E\setminus F)\leq m(E\setminus F_k)<\frac{1}{k}$，由$k$的任意性$m(E\setminus F)=0$从而$f$在$E\setminus F$也可测，所以$f$在$E=F\cup (E\setminus F)$可测。

28

推理错误，因为$f$在各个$F_k$连续并不意味着$f$在$\displaystyle\bigcup^\infty_{k=1}F_k$连续。例如对$f:\begin{align}\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\x&\mapsto\begin{cases}0&x\leq 0 \\ 1&x>0\end{cases}\end{align}$，取$F_k=\begin{cases}(-\infty,0]&k=1 \\ [\frac{1}{k},+\infty)&k>1\end{cases}$都是闭集，$f$在各个$F_k$连续，但$f$在$\cup^\infty_{k=1}F_k=\mathbb{R}$不连续。

结论错误，例如对$f:\begin{align}\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\x&\mapsto\begin{cases}0&x\notin\mathbb{Q} \\ 1&x\in\mathbb{Q}\end{cases}\end{align}$，则$f$是$\mathbb{R}$上处处有限的可测函数，但$\mathbb{R}$中所有点都是$f$的间断点，$m(\mathbb{R})>0$。

30

对于任何$\delta>0$，因测度有限集$[a,b]$上一列处处有限的可测函数$\{f_k\}$几乎处处收敛于处处有限的可测函数$f$，由Egorov定理，存在$E\subseteq [a,b]$，使$mE<\delta$且$\{f_k\}$在$[a,b]\setminus E$一致收敛于$f$。于是存在$N\in\mathbb{N}$使$k>N$时对所有$x\in [a,b]\setminus E$成立$\vert f_k(x)-f(x)\vert\lt 1$，从而$\vert f_{k}(x)\vert < \vert f(x)\vert+1< \vert f_{N+1}(x)\vert+2\leq M_{N+1}+2$。令$M=\max\{M_1,\dots,M_N,M_{N+1}+2\}$，则对所有$x\in [a,b]\setminus E$和$k\in\mathbb{Z}^+$，成立$\vert f(x)\vert\leq M$和$\vert f_k(x)\vert\leq M$。

32

对任何$m\in\mathbb{Z}^+, n\in\{1,\ldots,m\}$，令$f_{\frac{m(m-1)}{2}+n}=\chi_{[\frac{n-1}{m},\frac{n}{m}]}$，$f$为恒取0的常数函数。则对任何$\epsilon>0$，$\displaystyle \lim_{k\to\infty}m[0,1] (\vert f_k-f\vert>\epsilon)\leq\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\lceil \frac{-1+\sqrt{1+8k}}{2} \rceil}=0$，即$\{f_k\}$在$[0,1]$依测度收敛于$f$，但处处不收敛。

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