第十一周作业

本次作业题包括第四章习题1、21。

习题4

1

因$f=\displaystyle\sum^{N}_{j=1}a_j\chi_{E_j}$，$f^+=\displaystyle\sum^{N}_{\substack{j=1\\a_j\geq 0}}a_j\chi_{E_j}$和$f^-=\displaystyle\sum^{N}_{\substack{j=1\\a_j\lt 0}}(-a_j)\chi_{E_j}$为非负简单函数，由定义知$\int_E f^+(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\sum^{N}_{\substack{j=1\\a_j\geq 0}}a_jmE_j$和$\int_E f^-(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\sum^{N}_{\substack{j=1\\a_j\lt 0}}(-a_j)mE_j=-\displaystyle\sum^{N}_{\substack{j=1\\a_j\lt 0}}a_jmE_j$，故$\int_E f(x)\mathrm{d}x=\int_E f^+(x)\mathrm{d}x-\int_E f^-(x)\mathrm{d}x=\displaystyle\sum^{N}_{j=1}a_jmE_j$

这道题需要加上$mE\lt +\infty$条件，不然是不成立的

21

$\begin{align}N\max\{m(E_k)\vert k=1,\ldots,N\}&\geq\sum^{N}_{k=1}m(E_k)\\&=\int_{[0,1]}\sum^{N}_{k=1}\chi_{E_k}(x)\mathrm{d}x\\&\geq \int_{[0,1]}q\mathrm{d}x\\&=q\end{align}$

故存在$k\in\{1,\dots,N\}$使得$m(E_k)\geq\frac{q}{N}$。

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