第三周作业

本次作业题包括第一章习题32、41、47、49。

习题1

32

若$x\in \mathbb{R}\setminus C=\cup^{\infty}_{i=1}I_i\cup [0,1]^c$。若$x\in [0,1]^c$，则$d(x,[0,1])>0$且$B(x,d(x,[0,1]))\cap E=\emptyset$，从而$x\notin E’$；而若有$i$使$x\in I_i$，进而有$(a,b)$使$x\in (a,b)\subseteq I_i, b-a=\frac{1}{3^i}$，则$B(x,\min\{x-a,b-x\})\cap E$至多有一个元素，从而同样$x\notin E’$。这表明$E’\subseteq C$。

若$x\in C$，则有$\{a_i\}\subseteq \{0,2\}$使$x=\sum^{\infty}_{i=1}\frac{a_i}{3^i}$，于是对任何$\epsilon>0$，可取$\frac{1}{3^k}<\epsilon$，于是$\sum^{k}_{i=1}\frac{a_i}{3^i}+\sum^{\infty}_{i=k+1}\frac{1}{3^i}\in E\cap B(x,\epsilon)\setminus\{x\}$，可见$x\in E’$。这表明$C\subseteq E’$。

因此，$E’=C$。

41

（1）

由定义容易验证$\emptyset$是$\mathbb{R}^n$既开又闭的子集，从而由$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^n\setminus\emptyset$知$\mathbb{R}^n$为$\mathbb{R}^n$中既开又闭的子集。

现在，若有$E\subseteq\mathbb{R}^n$使$E\neq\emptyset, E\neq\mathbb{R}^n$，则存在$x\in E$和$y\in\mathbb{R}^n\setminus E$。令$A=\{t\in [0,1]\vert (1-t)x+ty\in E\}$，则$0\in A$从而$A\neq\emptyset$，于是可记$s=\sup A$，取$z=(1-s)x+sy$。由于$E$开，存在$B(x,\epsilon_x)\subseteq E$，故$s\geq \frac{\epsilon_x}{d(x,y)}>0$；由于$E^c$开，存在$B(y,\epsilon_y)\subseteq E^c$，故$s\leq 1-\frac{\epsilon_y}{d(x,y)}<1$。

• 若$z\in E$，因$E$开，存在$B(z,\epsilon_z)\subseteq E$，可见$s+\frac{\epsilon_z}{d(x,y)}\in A$比$s$大，与上确界定义矛盾。
• 若$z\in E^c$，因$E$开，存在$B(z,\epsilon_z)\subseteq E^c$，可见$s-\frac{\epsilon_z}{d(x,y)}$是$A$的一个比$s$小的上界，也与上确界定义矛盾。

因为所有情况下都导致矛盾，故不存在上述的$E$。

（2）

设$E\subseteq\mathbb{R}^n$。若$\partial E=\emptyset$，则由$\partial E\subseteq E^c$和$\partial E\subseteq E$知$E\subseteq\mathbb{R}^n$既开又闭，从而由（1）知有$E=\emptyset$或$E=\mathbb{R}^n$。

47

因$F\subseteq G=\cup^{\infty}_{n=1}G_n$，其中$F$为有界闭集而$G_i$均为开集，由有限覆盖定理存在$n_1,\dots, n_k\in\mathbb{Z}^+$使$F\subseteq\cup_{i=1}^kG_{n_i}$。由于$\{G_i\}$渐张，故当$n>\max\{n_1,\dots, n_k\}$时，有$F\subseteq G_{\max\{n_1,\dots, n_k\}}\subseteq G_n$。

居然有不少同学从$F\subseteq\lim_{n\to\infty}G_n$“得出”了存在$n$使$F\subseteq G\subseteq G_n$之类可笑的错误结果

49

因$\{B(0,n)\vert n\in\mathbb{Z}^+\}$覆盖了$E$，故由题目条件存在$n_1,\dots, n_k\in\mathbb{Z}^+$使$E\subseteq\cup_{i=1}^kB(0,n_i)=B(0,\max\{n_1,\dots, n_k\})$，这说明$E$有界。

对任何$x\in E’\setminus E$，因$\{B(y,\frac{\vert x-y\vert}{2})\vert y\in E\}$覆盖了$E$，故由题目条件存在$x_1,\dots, x_k\in E$使$E\subseteq\cup_{i=1}^kB(x_i,\frac{\vert x_i-x\vert}{2})$，可见$E\cap B(x,\min\{\frac{\vert x_1-x\vert}{2},\dots,\frac{\vert x_k-x\vert}{2}\})=\emptyset$，与$x\in E’$矛盾。这说明$E’\setminus E=\emptyset$，即$E’\subseteq E$，故$E$为闭集。

这个证明很可能在学《数学分析》时已经见过，不明白为何很多同学都不能正确写出。有大批同学似乎在抄同一份劣质答案（如此多同学在同一题中同样犯两个同样的低级错误没有想到别的解释），更有同学误认为一个点集非开即闭。