第一周作业
本次作业题包括习题1.1第2题和习题1.2的第3、8题。
习题1.1
2
(1)
当端点$x=0$固定时,边界条件为$u(0,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$。
当端点$x=\ell$固定时,边界条件为$u(\ell,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$。
(2)
当端点$x=0$自由时,端点受的应力为零从而应变也为零,即边界条件为$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$。
当端点$x=\ell$自由时,端点受的应力为零从而应变也为零,即边界条件为$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$。
(3)
设$S$表示杆的截面面积,而$k$为支承的弹性常数。
时间$t$时,在左端点(对应平衡位置$x=0$)处:
- 细杆的应变为$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)$,于是由Hooke定律,细杆对支承的弹性力为$E(0)S(0)\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)$(注意到应变正时细杆在左端点附近处于拉长状态,而弹性力应抵抗伸长,所以力的方向为正向);
- 支承的拉伸量为$u(0,t)$,故支承对细杆的弹性力为$-ku(0,t)$。
因为以上两个力是作用-反作用力对,按照牛顿第三定律$-E(0)S(0)\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=-ku(0,t)$,故边界条件形如$\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)-\sigma u(0,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$而$\sigma$为某非负常数。
时间$t$时,在右端点(对应平衡位置$x=\ell$)处:
- 细杆的应变为$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)$,于是由Hooke定律,细杆对支承的弹性力为$-E(\ell)S(\ell)\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)$(注意到应变正时细杆在右端点附近处于拉长状态,而弹性力应抵抗伸长,所以力的方向为负向);
- 支承的压缩量为$u(\ell,t)$,故支承对细杆的弹性力为$-ku(\ell,t)$。
因为以上两个力是作用-反作用力对,按照牛顿第三定律$E(\ell)S(\ell)\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)=-ku(\ell,t)$,故边界条件形如$\frac{\partial u}{\partial x}(\ell,t)+\sigma u(\ell,t)=0$,其中$t\in [0,+\infty)$而$\sigma$为某非负常数。
许多同学完全没有理解本题在问什么,本题与弦振动的区别是纵波与横波的区别。
习题1.2
3
注意到定解问题的解形如$u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)$。当$x-at=0$,有$\varphi (x)=u(x,t)=F(0)+G(2x)$,即$G(x)=\varphi (\frac{x}{2})-F(0)$。当$x+at=0$,有$\psi (x)=u(x,t)=F(2x)+G(0)$,即$F(x)=\psi (\frac{x}{2})-G(0)$。因此$u(x,t)=\psi (\frac{x-at}{2})+\varphi (\frac{x+at}{2})-F(0)-G(0)=\psi (\frac{x-at}{2})+\varphi (\frac{x+at}{2})-\varphi (0)$。
8
$\begin{align}u(x,t)&=\frac{1}{2}\int^{x+t}_{x-t}\sin\xi\mathrm{d}\xi+\frac{1}{2}\int^t_0\int^{x+(t-\tau)}_{x-(t-\tau)}\tau\sin\xi\mathrm{d}\xi\mathrm{d}\tau\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+\int^t_0\tau(-\cos (x+t-\tau)+\cos (x-t+\tau))\mathrm{d}\tau)\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+\tau (\sin (x+t-\tau)+\sin (x-t+\tau))\vert^{\tau=t}_{\tau=0}-\int^t_0(\sin (x+t-\tau)+\sin (x-t+\tau))\mathrm{d}\tau)\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+t(\sin (x)+\sin (x))-(\cos (x+t-\tau)-\cos (x-t+\tau))\vert^{\tau=t}_{\tau=0})\\&=\frac{1}{2}(-\cos (x+t)+\cos (x-t)+2t\sin (x)+\cos (x+t)-\cos (x-t))\\&=t\sin x\end{align}$
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